Cho hàm số \(y = - {x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x + 2019\). Hỏi có bao

Câu hỏi số 345665:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = - {x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x + 2019\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 2019;2019} \right)\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. \(2020\)

B. \(2021\)

C. \(2022\)

D. \(2019\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345665

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chú ý \(f'\left( x \right) = 0\) tại hữu hạn điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\).

- Tính \(y'\).

- Tìm \(m\) để \(y' \le 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có : \(y' = - 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right)\)

\(\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 3{m^2} + 3 = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0,\forall m\)

Khi đó phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{m + 1}}{3},{x_2} = m - 1\).

+) Nếu \(\dfrac{{m + 1}}{3} \le m - 1 \Leftrightarrow m + 1 \le 3m - 3 \Leftrightarrow m \ge 2\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} \le {x_2}\)

Khi đó \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_1} \le {x_2} \le 2 \Rightarrow m - 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 3\).

Kết hợp với \(m \ge 2\) ta được \(2 \le m \le 3\).

+) Nếu \(\dfrac{{m + 1}}{3} > m - 1 \Leftrightarrow m < 2\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_2} < {x_1}\).

Khi đó \(y' \le 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_2} < {x_1} \le 2 \Rightarrow \dfrac{{m + 1}}{3} \le 2 \Leftrightarrow m \le 5\).

Kết hợp với \(m < 2\) ta được \(m < 2\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m < 2\\2 \le m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\). Mà \(m \in \left( { - 2019;2019} \right),m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...;3} \right\}\) nên có \(3 - \left( { - 2018} \right) + 1 = 2022\) giá trị nguyên của \(m\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.