Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \dfrac{7}{{13}}\ln 2 +

Câu hỏi số 347220:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \dfrac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).} \) Tính \(\dfrac{b}{c}.\)

A. \(\dfrac{{13}}{{9\pi }}\)

B. \(\dfrac{{14}}{{9 }}\)

C. \(\dfrac{{14}}{{9\pi }}\)

D. \(\dfrac{{14\pi }}{9}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:347220

Phương pháp giải

Tách tử số thành \(A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\) để dùng đồng nhất thức tìm \(A,B\)

Sử dụng \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx;\,\int {\dfrac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C\) để tính các tchs phân thu được.

Giải chi tiết

Ta có \(3\sin x + \cos x = A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sin x + \cos x = \left( {2A - 3B} \right)\sin x + \left( {3A + 2B} \right)\cos x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2A - 3B = 3\\3A + 2B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{9}{{13}}\\B = - \dfrac{7}{{13}}\end{array} \right.\end{array}\)

Nên \(3\sin x + \cos x = \dfrac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \dfrac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\)

Từ đó ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{\dfrac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \dfrac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = } \\ = \dfrac{9}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} - \dfrac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{2\cos x - 3\sin x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx} \\ = \dfrac{{9\pi }}{{26}} - \dfrac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{2\sin x + 3\cos x}}d\left( {2\sin x + 3\cos x} \right)} \\ = \dfrac{{9\pi }}{{26}} - \dfrac{7}{{13}}\left. {\ln \left| {2\sin x + 3\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = \dfrac{{9\pi }}{{26}} - \dfrac{7}{{13}}\ln 2 + \dfrac{7}{{13}}\ln 3\end{array}\)

Suy ra \(b = \dfrac{7}{{13}};c = \dfrac{9}{{26}} \Rightarrow \dfrac{b}{c} = \dfrac{{14}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.