Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1}

Câu hỏi số 347221:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5\) có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(\sqrt {74} \).

A. \(m = 3\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 2\end{array} \right.\)

C. \(m = 2\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:347221

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\): \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

- Biến đổi điều kiện bài toán trở thành \(x_1^2 + x_2^2 = 74\) và tìm \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m + 7\).

Điều kiện bài toán tương đương tìm \(m\) để phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 74\).

+) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m + 7} \right) > 0\\2\left( {2m - 1} \right) > 0\\{m^2} - m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 3m - 6 > 0\\2m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 74 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 74\\ \Rightarrow 4{\left( {2m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - m + 7} \right) = 74\\ \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 2{m^2} + 2m - 14 - 74 = 0\\ \Leftrightarrow 14{m^2} - 14m - 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 3\).

Chú ý khi giải

Khi tìm đến điều kiện \(m > 2\) thì đối chiếu 4 đáp án các em cũng chọn ngay được \(m = 3\).

Một số em quên điều kiện hai nghiệm dương \(S > 0\) dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.