Cho \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(x + y \ne - 1\) và \({x^2} + {y^2} + xy = x + y + 1\). Gọi
Cho \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(x + y \ne - 1\) và \({x^2} + {y^2} + xy = x + y + 1\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{xy}}{{x + y + 1}}\). Tính \(M + m\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Chia cả tử và mẫu cho \({y^2}\), sử dụng phương pháp xét hàm số.
Theo bài ra ta có: \(P = \dfrac{{xy}}{{x + y + 1}} = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\).
TH1: \(y = 0 \Rightarrow P = 0\).
Khi đó \({x^2} = x + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow x + y \ne - 1\,\,\left( {tm} \right)\).
TH2: \(y \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \({y^2}\) ta có:
\(P = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} + xy}} = \dfrac{{\dfrac{x}{y}}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 1 + \dfrac{x}{y}}}\)
Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\), khi đó \(P = \dfrac{t}{{{t^2} + t + 1}} = f\left( t \right)\).
Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + t + 1 - t\left( {2t + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\).
BBT:
Từ BBT, kết hợp TH1 suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\min P = - 1 = m\\\max P = \dfrac{1}{3} = M\end{array} \right. \Rightarrow M + m = \dfrac{{ - 2}}{3}\).
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
