Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 5 \right) = 1\)

Câu hỏi số 351469:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 5 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right){\rm{d}}x} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(15\).

B. \(23\).

C. \(\dfrac{{123}}{5}\).

D. \( - 25\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351469

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần

Lưu ý rằng tích phân không phụ thuộc vào biến

Giải chi tiết

Đặt \(t = 5x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = \dfrac{{dt}}{5}\\x = \dfrac{t}{5}\end{array} \right.\).

Đổi cận: Với \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); với \(x = 1 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right){\rm{d}}x} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {\dfrac{t}{5}f\left( t \right)\dfrac{{{\rm{dt}}}}{5}} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} = 25\)

Do đó \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = 25\,\) (vì tích phân không phụ thuộc vào biến)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = f'\left( x \right){\rm{d}}x\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = 25\, \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{2}.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 25\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 25 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x} = - 25\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.