Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập

Câu hỏi số 351471:

Vận dụng

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \dfrac{{3 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \(2\sqrt 3 \).

B. \(20\).

C. \(12\).

D. \(2\sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351471

Phương pháp giải

Rút \(z\) theo \(w\) rồi thay vào dữ kiện đề bài, từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(w\).

Giải chi tiết

Ta có \(w = \dfrac{{3 + iz}}{{1 + z}}\)\( \Leftrightarrow w(1 + z) = 3 + iz\)\( \Leftrightarrow w + wz = 3 + iz\)\( \Leftrightarrow w - 3 = (i - w)z\)\( \Leftrightarrow z = \dfrac{{w - 3}}{{i - w}}\)

Khi đó đặt \(w = x + yi\) \((x,y \in \mathbb{R})\) ta được

\(\,\left| z \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 3}}{{i - w}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{x + yi - 3}}{{i - (x + yi)}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{(x - 3) + yi}}{{ - x + (1 - y)i}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 3} \right) + yi} \right| = \sqrt 2 \left| { - x + \left( {1 - y} \right)i} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2\left[ {{x^2} + {{(1 - y)}^2}} \right]\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 9 = 2{x^2} + 2{y^2} - 4y + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 20\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.