Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập

Câu hỏi số 351471:

Vận dụng

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \dfrac{{3 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \(2\sqrt 3 \).

B. \(20\).

C. \(12\).

D. \(2\sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351471

Phương pháp giải

Rút \(z\) theo \(w\) rồi thay vào dữ kiện đề bài, từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(w\).

Giải chi tiết

Ta có \(w = \dfrac{{3 + iz}}{{1 + z}}\)\( \Leftrightarrow w(1 + z) = 3 + iz\)\( \Leftrightarrow w + wz = 3 + iz\)\( \Leftrightarrow w - 3 = (i - w)z\)\( \Leftrightarrow z = \dfrac{{w - 3}}{{i - w}}\)

Khi đó đặt \(w = x + yi\) \((x,y \in \mathbb{R})\) ta được

\(\,\left| z \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 3}}{{i - w}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{x + yi - 3}}{{i - (x + yi)}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{(x - 3) + yi}}{{ - x + (1 - y)i}}} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 3} \right) + yi} \right| = \sqrt 2 \left| { - x + \left( {1 - y} \right)i} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2\left[ {{x^2} + {{(1 - y)}^2}} \right]\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 9 = 2{x^2} + 2{y^2} - 4y + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 20\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.