Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;\,4;\, - 3} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi,

Câu hỏi số 351472:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;\,4;\, - 3} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\). Khi khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) lớn nhất, \(d\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(P\left( { - 3;\,0;\, - 3} \right)\).

B. \(Q\left( {0;\,11;\, - 3} \right)\).

C. \(N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {0;\, - 3;\, - 5} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351472

Phương pháp giải

Vẽ hình và suy ra vị trí của đường thẳng \(d\) và điểm đi qua

Giải chi tiết

Vì đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(d\) là đường sinh của hình trụ có trục là \(Oz\) và bán kính đáy \(R = 3.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\left( {0;4; - 3} \right)\) trên trục \(Oz \Rightarrow H\left( {0;0; - 3} \right) \Rightarrow AH = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} = 4\)

Gọi \(M'\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\)

Nhận thấy rằng \(AM'\) lớn nhất khi \(A,H,M'\) thẳng hàng.

Suy ra \(AM' = AH + HM'\) \( = 4 + 3 = 7\)

Từ đó \(\overrightarrow {AM'} = \dfrac{7}{4}\overrightarrow {AH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{4}.0\\y - 4 = \dfrac{7}{4}.\left( { - 4} \right)\\z + 3 = \dfrac{7}{4}.0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = - 3\end{array} \right.\)

Hay \(M'\left( {0; - 3; - 3} \right)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M'\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và song song với \(Oz\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = - 3 + t\end{array} \right.\)

Từ đó ta thấy điểm \(M\left( {0; - 3; - 5} \right)\) thuộc đường thẳng \(d.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.