Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;\,4;\, - 3} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\). Khi khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) lớn nhất, \(d\) đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 351472: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;\,4;\, - 3} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\). Khi khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) lớn nhất, \(d\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(P\left( { - 3;\,0;\, - 3} \right)\).

B. \(Q\left( {0;\,11;\, - 3} \right)\).

C. \(N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {0;\, - 3;\, - 5} \right)\).

Câu hỏi : 351472

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Vẽ hình và suy ra vị trí của đường thẳng \(d\) và điểm đi qua

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(d\) là đường sinh của hình trụ có trục là \(Oz\) và bán kính đáy \(R = 3.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\left( {0;4; - 3} \right)\) trên trục \(Oz \Rightarrow H\left( {0;0; - 3} \right) \Rightarrow AH = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} = 4\)

Gọi \(M'\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\)

Nhận thấy rằng \(AM'\) lớn nhất khi \(A,H,M'\) thẳng hàng.

Suy ra \(AM' = AH + HM'\) \( = 4 + 3 = 7\)

Từ đó \(\overrightarrow {AM'} = \dfrac{7}{4}\overrightarrow {AH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{4}.0\\y - 4 = \dfrac{7}{4}.\left( { - 4} \right)\\z + 3 = \dfrac{7}{4}.0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = - 3\end{array} \right.\)

Hay \(M'\left( {0; - 3; - 3} \right)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M'\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và song song với \(Oz\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = - 3 + t\end{array} \right.\)

Từ đó ta thấy điểm \(M\left( {0; - 3; - 5} \right)\) thuộc đường thẳng \(d.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.