Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Vẽ đường tròn \(\left( A \right)\) bán kính

Câu hỏi số 351676:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Vẽ đường tròn \(\left( A \right)\) bán kính \(AH\). Từ đỉnh \(B\) kẻ tiếp tuyến \(BI\) với \(\left( A \right)\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(D\) (điểm \(I\) là tiếp điểm, \(I\) và \(H\) không trùng nhau).

a) Chứng minh \(AHBI\) là tứ giác nội tiếp.

b) Cho \(AB = 4cm,\,\,AC = 3cm\). Tính \(AI\).

c) Gọi \(HK\) là đường kính của \(\left( A \right)\). Chứng minh rằng \(BC = BI + DK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351676

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(AHBI\) có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\), suy ra \(AI\).

c) Chứng minh \(BH = BI;\,\,HC = DK\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AHBI\) có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Do \(BI\) là tiếp tuyến của \(\left( A \right) \Rightarrow BI \bot AI \Rightarrow \angle AIB = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AHBI\) có: \(\angle AHB + \angle AIB = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AHBI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\), suy ra \(AI\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\), đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{16}} + \frac{1}{9} = \frac{{25}}{{144}}\\ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{144}}{{25}} \Rightarrow AH = \sqrt {\frac{{144}}{{25}}} = \frac{{12}}{5}\end{array}\)

Vậy \(AI = AH = \frac{{12}}{5}\,\,\left( { = R} \right)\).

c) Gọi \(HK\) là đường kính của \(\left( A \right)\). Chứng minh rằng \(BC = BI + DK\).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BI = BH\,\,\left( 1 \right)\\\angle BAI = \angle BAH\end{array} \right.\).

\(\angle BAI = \angle BAH \Leftrightarrow {90^0} - \angle BAI = {90^0} - \angle BAH \Leftrightarrow \angle IAD = \angle HAC\).

Mà \(\angle HAC = \angle KAD \Rightarrow \angle IAD = \angle KAD\).

Xét tam giác \(ADI\) và tam giác \(ADK\) có:

\(\begin{array}{l}AD\,\,chung;\\\angle IAD = \angle KAD\,\,\left( {cmt} \right);\\AI = AK\,\,\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADI = \Delta AKI\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AKD = \angle AID = {90^0}\) (hai góc tương ứng) \( \Rightarrow \Delta AKD\) vuông tại \(K\).

Xét tam giác vuông \(AKD\) và tam giác vuông \(AHC\) có:

\(AK = AH\,\,\left( { = R} \right)\);

\(\angle KAD = \angle HAC\) (đối đỉnh);

\( \Rightarrow \Delta AKD = \Delta AHC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

\( \Rightarrow DK = HC\) (2) (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) ta có \(BC = BH + HC = BI + DK\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link