Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3}

Câu hỏi số 354806:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng:

\({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ca} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354806

Phương pháp giải

- Đặt \(x = {a^2} - bc,y = {b^2} - ca,z = {c^2} - ab\) đưa bất đẳng thức cần chứng minh về \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

- Chứng minh đẳng thức \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

- Từ đó đánh giá hiệu \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt \(x = {a^2} - bc,\,\,\,y = {b^2} - ca,\,\,\,z = {c^2} - ab\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xyz + {z^3}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz + {z^3}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right]\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\end{array}\)

Dễ thấy:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0,\forall x,y,z\end{array}\)

Do đó ta đi xét dấu của \(x + y + z\).

Ta có: \(x + y + z = {a^2} - bc + {b^2} - ca + {c^2} - ab\)

\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0,\forall a,b,c\)

Suy ra \(x + y + z \ge 0\) \( \Rightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\) hay \({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ca} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link