Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3}

Câu hỏi số 354806:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng:

\({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ca} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354806

Phương pháp giải

- Đặt \(x = {a^2} - bc,y = {b^2} - ca,z = {c^2} - ab\) đưa bất đẳng thức cần chứng minh về \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

- Chứng minh đẳng thức \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

- Từ đó đánh giá hiệu \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt \(x = {a^2} - bc,\,\,\,y = {b^2} - ca,\,\,\,z = {c^2} - ab\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xyz + {z^3}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz + {z^3}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right]\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\end{array}\)

Dễ thấy:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0,\forall x,y,z\end{array}\)

Do đó ta đi xét dấu của \(x + y + z\).

Ta có: \(x + y + z = {a^2} - bc + {b^2} - ca + {c^2} - ab\)

\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0,\forall a,b,c\)

Suy ra \(x + y + z \ge 0\) \( \Rightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\) hay \({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ca} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link