Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt

Câu hỏi số 354805:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại trực tâm \(H\). Biết ba góc \(\angle CAB,\angle ABC,\angle BCA\) đều là góc nhọn.

1) Chứng minh bốn điểm \(B,C,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(DE\) vuông góc với \(OA\).

3) Cho \(M,N\) lần lượt là trung điểm của hai đoạn \(BC,AH\). Cho \(K,L\) lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng \(OM\) và \(CE\), \(MN\) và \(BD\). Chứng minh \(KL\) song song với \(AC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354805

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau.

2) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) và chứng minh \(Ax//DE\).

Giải chi tiết

1) Chứng minh bốn điểm \(B,C,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC \Rightarrow \angle BDC = {90^0}\\CE \bot AB \Rightarrow \angle CEB = {90^0}\end{array} \right.\)

Tứ giác \(BEDC\) có \(\angle BDC = \angle BEC = {90^0}\) nên nó là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Suy ra bốn điểm \(B,D,C,E\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(DE\) vuông góc với \(OA\).

Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\).

Khi đó \(Ax \bot AO\) (tính chất tiếp tuyến).

Ta có: \(\angle CAx = \angle CBA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (1)

Do tứ giác \(BEDC\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle CBA = \angle EDA\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diện đỉnh đó) (2)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle CAx = \angle EDA\left( { = \angle CBA} \right)\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(DE//Ax\).

Mà \(Ax \bot AO\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(DE \bot AO\) (đpcm).

Kẻ đường kính \(AI\) của đường tròn \(\left( O \right)\) , gọi giao điểm của \(NM\) và \(ED\) là \(P.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có \(\angle ACI = 90^\circ ,\angle ABI = 90^\circ \) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(CI \bot AC,\,BI \bot AB\) lại có \(BD \bot AC,\,CE \bot AB\left( {gt} \right)\) nên \(BH//CI;\,CH//BI\)

Xét tứ giác \(BHCI\) có \(\left\{ \begin{array}{l}BH//CI\\CH//BI\end{array} \right. \Rightarrow \) \(BHCI\) là hình bình hành, có \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(HI.\)

Xét tam giác \(HIA\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(HI\)

\(N\) là trung điểm của \(AH\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(HAI \Rightarrow MN//AI\) (tính chất đường trung bình).

Theo câu b) ta có \(AO \bot DE \Rightarrow MN \bot DE\) tại \(P.\)

Xét tam giác vuông \(PLD\) có \(\angle PLD = 90^\circ - \angle PDL\) (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OM \bot BC\) hay \(OM\) là đường trung trực của \(BC.\)

Mà \(K \in OM \Rightarrow KB = KC\)

Xét \(\Delta KBC\) cân tại \(K\) có \(KM\) là đường cao nên \(KM\) cũng là đường phân giác \(\angle BKM \Rightarrow \angle BKM = \angle MKC\) (tính chất đường phân giác).

Xét tam giác \(KMC\) vuông tại \(M\) có \(\angle MKC = 90^\circ - \angle KCM\) suy ra \(\angle BKM = 90^\circ - \angle KCM\) (4)

Lại có \(\angle EDB = \angle ECB\) (do tứ giác \(BEDC\) nội tiếp) hay \(\angle PDL = \angle KCM\) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(\angle BKM = \angle PLD\) mà \(\angle PLD = \angle BLM\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\angle BLM = \angle BKM\)

Xét tứ giác \(BLKM\) có \(\angle BLM = \angle BKM\) nên hai đỉnh \(L,K\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(BM\) dưới các góc bằng nhau, do đó tứ giác \(BLKM\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).

Suy ra \(\angle BLK + \angle BMK = 180^\circ \Leftrightarrow \angle BLK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Hay \(KL \bot BD\) mà \(AC \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow KL//AC\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link