Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - n} \right)x + \left( {2m + 3n - 1} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Câu hỏi số 354848:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - n} \right)x + \left( {2m + 3n - 1} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m,\,\,n\) là tham số)

1) Với \(n = 0,\) chứng minh rằng phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m.\)

2) Tìm \(m,\,\,n\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = - 1\) và \(x_1^2 + x_2^2 = 13.\)

A. \(2)\,\,m = - 1,\,\,n = - 1\)

B. \(2)\,\,m = 1,\,\,n = - 1\)

C. \(2)\,\,m = - 1,\,\,n = 1\)

D. \(2)\,\,m = 1,\,\,n = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354848

Phương pháp giải

1) Thay \(n = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) chứng minh \(\Delta \ge 0\,\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)\) với mọi \(m.\)

2) Tìm điều kiện của \(m,\,\,n\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm: \(\Delta \ge 0.\)

+) Áp dụng định lý Vi-et và các biểu thức bài cho để tìm \(m,\,\,n.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - n} \right)x + \left( {2m + 3n - 1} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m,\,\,n\) là tham số)

1) Với \(n = 0,\) chứng minh rằng phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m.\)

Với \(n = 0\) ta có phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\)

Phương trình có \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)

Vậy với \(n = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

2) Tìm \(m,\,\,n\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = - 1\) và \(x_1^2 + x_2^2 = 13.\)

Ta có: \(\Delta = {\left( {2m - n} \right)^2} - 4\left( {2m + 3n - 1} \right) = 4{m^2} - 4mn + {n^2} - 8m - 12n + 4.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm\({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4mn + {n^2} - 8m - 12n + 4 \ge 0.\,\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = 2m + 3n - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\x_1^2 + x_2^2 = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\,\,\)

Thế (3) và (4) vào (5) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 5 \right) \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {2m + 3n - 1} \right) = 13\\ \Leftrightarrow 1 - 4m - 6n + 2 = 13\\ \Leftrightarrow 4m + 6n = - 10\\ \Leftrightarrow 2m + 3n = - 5\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array}\)

Từ (2) và (4) ta có: \(2m - n = - 1 \Leftrightarrow n = 2m + 1\,\,\,\left( 7 \right)\)

Thế \(\left( 7 \right)\) vào \(\left( 6 \right)\) ta được: \(2m + 3\left( {2m + 1} \right) = - 5 \Leftrightarrow 2m + 6m + 3 = - 5 \Leftrightarrow 8m = - 8 \Leftrightarrow m = - 1\)

\( \Rightarrow n = 2m + 1 = 2.\left( { - 1} \right) + 1 = - 1.\)

Thay \(m = - 1,\,\,n = - 1\) vào điều kiện \(\left( * \right)\) ta có:

\(4.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} - 8.\left( { - 1} \right) - 12.\left( { - 1} \right) + 4 = 25 > 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = - 1\end{array} \right.\) thỏa mãn.

Vậy \(m = - 1,\,\,n = - 1\) là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link