Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm

Câu hỏi số 354852:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BD\) sao cho \(\angle BOM = {30^0}.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CM\) và \(OB.\) Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(OB,\,\,OD\) kéo dài lần lượt tại \(E\) và \(F.\) Đường thẳng qua \(N\) và vuông góc với \(AB\) cắt \(EF\) tại \(P.\)

1) Chứng minh tứ giác \(ONMP\) là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(\Delta EMN\) là tam giác đều.

3) Chứng minh \(CN = OP.\)

4) Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta AEF.\) Hỏi ba điểm \(A,\,\,H,\,\,P\) có thẳng hàng không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354852

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết của tứ giác.

2) Chứng minh tam giác có hai góc có số đo bằng \({60^0}\) là tam giác đều.

3) Chứng minh tứ giác \(OCNP\) là hình bình hành.

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác \(ONMP\) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác \(ONMP\) ta có:

\(\angle ONP = {90^0}\,\,\,\left( {NP \bot AB} \right)\)

\(\angle OMP = {90^0}\) (\(EF\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \angle ONP = \angle OMP = {90^0}\)

Mà hai đỉnh \(N,\,\,P\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(OP.\)

\( \Rightarrow ONMP\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm).

2) Chứng minh \(\Delta EMN\) là tam giác đều.

Xét \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle COM\) là góc ở tâm chắn cung \(CM\)

\(\angle CME\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CM\)

\( \Rightarrow \angle CME = \frac{1}{2}\angle COM = \frac{1}{2}\left( {\angle COB + \angle BOM} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{90}^0} + {{30}^0}} \right) = {60^0}.\) (tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung).

Hay \(\angle NME = {60^0}.\)

Xét \(\Delta OME\) vuông tại \(M\) ta có:

\(\angle OEM = {90^0} - \angle EOM = {90^0} - {30^0} = {60^0}.\)

Xét \(\Delta MNE\) ta có:\(\angle NEM = \angle NME = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta NME\) là tam giác đều. (định nghĩa) (đpcm).

3) Chứng minh \(CN = OP.\)

Ta có: \(\Delta MNE\) là tam giác đều (cmt)

\( \Rightarrow \angle ENM = {60^0} = \angle ONC\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle OCN = {90^0} - \angle ONC = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Ta có: \(\angle OMN = {90^0} - \angle NME = {90^0} - {60^0} = {30^0}.\)

Vì \(ONMP\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle OPN = \angle OMN = {30^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot AB = \left\{ O \right\}\\NP \bot AB = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow OC//NP \Rightarrow OCPN\) là hình thang.

Mà \(\angle OCN = \angle OPN = {30^0}\,\,\,\left( {cmt} \right).\)

Lại có hai góc này là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow OCNP\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow OC = NP\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

4) Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta AEF.\) Hỏi ba điểm \(A,\,\,H,\,\,P\) có thẳng hàng không? Vì sao?

Gọi \(I\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(EF\) thì \(H \in AI\).

Giả sử phản chứng \(A,H,P\) thẳng hàng thì \(P \equiv I\) hay \(AP \bot EF\).

Có \(\angle EOP = \angle NOP = {90^0} - \angle ONP = {60^0}\) và \(\angle OEP = {60^0}\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta OEP\) là tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\) nên là tam giác đều \( \Rightarrow OP = PE\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có \(\angle POF = {90^0} - \angle EOP = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) và \(\angle PFO = {90^0} - \angle OEP = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) nên tam giác \(OPF\) cân tại \(P\) hay .

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(PE = PF\left( { = OP} \right)\).

Xét tam giác \(AEF\) có \(AP \bot EF\) (giả thiết) và \(PE = PF\) nên \(AP\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại \(A\). Mà \(\angle AEF = {60^0}\) nên tam giác \(AEF\) đều.

\( \Rightarrow FO\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến \( \Rightarrow OA = OE\) (vô lý vì \(OA < OE\)).

Vậy ba điểm \(A,H,P\) không thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link