Giải phương trình \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) +\) \( \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \).
Câu 356479: Giải phương trình \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) +\) \( \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \).
A. \(x = k\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
B. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(x = k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
D. \(x = \pi + k2\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
-
Đáp án : D(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {2\sin x\cos x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \end{array}\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1 + 1} \right) + t = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} + t + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi \(t = - 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com