Giải phương trình \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) +\) \( \sin x +

Câu hỏi số 356479:

Thông hiểu

Giải phương trình \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) +\) \( \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \).

A. \(x = k\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = \pi + k2\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356479

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {2\sin x\cos x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} - \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1 + 1} \right) + t = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} + t + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Khi \(t = - 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.