Phương trình \(1 + \sin x - \cos x + \sin 2x = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}}

Câu hỏi số 356480:

Thông hiểu

Phương trình \(1 + \sin x - \cos x + \sin 2x = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356480

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

- Giải phương trình bậc hai đối với \(t\), sau đó tìm nghiệm \(x\).

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đề bài cho.

Giải chi tiết

\(1 + \sin x - \cos x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 1 + \sin x - \cos x + 2\sin x\cos x = 0\).

Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành: \(1 + t + 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t = - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le k2\pi < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le k < \dfrac{1}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 0\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{3}{2} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{4} \le k < - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.