Tính tổng \(S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ... +

Câu hỏi số 357805:

Vận dụng cao

Tính tổng \(S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \dfrac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018}\)

A. \(S = \dfrac{{{2^{2018}} + 1}}{{2019}}\)

B. \(S = \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019}} + 1\)

C. \(S = \dfrac{{{2^{2019}} - 1}}{{2019}}\)

D. \(S = \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019}} - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357805

Phương pháp giải

Tính tổng \(2019S\) bằng cách nhận xét số hạng tổng quát của tổng này.

Giải chi tiết

Ta có : \(S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \dfrac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{1}{{k + 1}}C_{2018}^k} \)

\( \Rightarrow 2019S = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}C_{2018}^k} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}.\dfrac{{2018!}}{{k!\left( {2018 - k} \right)!}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2019 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2019}^{k + 1}} \)

\( = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019}\)\( \Rightarrow 2019S + C_{2019}^0 = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}\)

\( \Rightarrow 2019S = {2^{2019}} - C_{2019}^0 = {2^{2019}} - 1 \Rightarrow S = \dfrac{{{2^{2019}} - 1}}{{2019}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.