Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\) là

Câu hỏi số 357806:

Vận dụng

A. \(2\sqrt 2 \)

B. \(1 - \sqrt 2 \)

C. \(1 + \sqrt 2 \)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357806

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\) và \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin \,a.sinb\)

Sử dụng \( - 1 \le \cos x \le 1\)

Giải chi tiết

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x\)\( = 1 + \cos 2x + \sin 2x\)

\( \Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Hay \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \)

Dấu = xảy ra khi \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(1 - \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.