Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x +

Câu hỏi số 360715:

Vận dụng

Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{3}\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\)).

A. \(A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x + 1}}\,\,\,;\,\,\,\max A = 1\)

B. \(A = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\,\,\,;\,\,\,\max A = 0\)

C. \(A = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\,\,\,;\,\,\,\max A = 2\)

D. \(A = \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}}\,\,\,;\,\,\,\max A = 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:360715

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{3}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - \left( {x + \sqrt x + 1} \right) + x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - x - \sqrt x - 1 + x + 2 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\; = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\; = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

Ta có: \(A = \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}}\)

Ta có: \(x \ge 0,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}} \le 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(3\) khi \(x = 0.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link