Cho tam giác \(ABC\) và ba số dương \(x,y,z\) thay đổi có tổng bình phương \({x^2} + {y^2} + {z^2} =

Câu hỏi số 361684:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) và ba số dương \(x,y,z\) thay đổi có tổng bình phương \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {k^2},k \in \mathbb{R}.\) Giá trị lớn nhất của \(P = xy\cos \angle C + yz\cos \angle A + zx\cos \angle B\) ?

A. \(\frac{{{k^2}}}{2}\)

B. \(\frac{{{k^2}}}{3}\)

C. \(\frac{k}{2}\)

D. \(\frac{k}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361684

Phương pháp giải

Với 3 vecto \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c :\,\,{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2} \ge 0.\)

\(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \cos \alpha .\)

Giải chi tiết

Đặt 3 vecto \(\overrightarrow {BX} ,\overrightarrow {CY} ,\overrightarrow {AZ} \) tương ứng là \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\overrightarrow x \overrightarrow y + 2\overrightarrow y \overrightarrow z + 2\overrightarrow z \overrightarrow x \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 2xy\cos \left( {{{180}^o} - \angle C} \right) + 2yz\cos \left( {{{180}^o} - \angle A} \right) + 2xz\cos \left( {{{180}^o} - \angle B} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 2xy\cos \angle C - 2yz\cos \angle A - 2xz\cos \angle B \ge 0\\ \Leftrightarrow xy\cos \angle C + yz\cos \angle A + xz\cos \angle B \le \frac{{{k^2}}}{2}\end{array}\)

Vậy \({\rm{Max }}P{\rm{ = }}\frac{{{k^2}}}{2}\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.