Cho tam giác \(ABC\) và ba số dương \(x,y,z\) thay đổi có tổng bình phương \({x^2} + {y^2} + {z^2} =

Câu hỏi số 361684:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) và ba số dương \(x,y,z\) thay đổi có tổng bình phương \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {k^2},k \in \mathbb{R}.\) Giá trị lớn nhất của \(P = xy\cos \angle C + yz\cos \angle A + zx\cos \angle B\) ?

A. \(\frac{{{k^2}}}{2}\)

B. \(\frac{{{k^2}}}{3}\)

C. \(\frac{k}{2}\)

D. \(\frac{k}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361684

Phương pháp giải

Với 3 vecto \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c :\,\,{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2} \ge 0.\)

\(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \cos \alpha .\)

Giải chi tiết

Đặt 3 vecto \(\overrightarrow {BX} ,\overrightarrow {CY} ,\overrightarrow {AZ} \) tương ứng là \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\overrightarrow x \overrightarrow y + 2\overrightarrow y \overrightarrow z + 2\overrightarrow z \overrightarrow x \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 2xy\cos \left( {{{180}^o} - \angle C} \right) + 2yz\cos \left( {{{180}^o} - \angle A} \right) + 2xz\cos \left( {{{180}^o} - \angle B} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 2xy\cos \angle C - 2yz\cos \angle A - 2xz\cos \angle B \ge 0\\ \Leftrightarrow xy\cos \angle C + yz\cos \angle A + xz\cos \angle B \le \frac{{{k^2}}}{2}\end{array}\)

Vậy \({\rm{Max }}P{\rm{ = }}\frac{{{k^2}}}{2}\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10