Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\)\(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \(S\) là tập

Câu hỏi số 362205:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\)\(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để từ điểm \(M\left( {1;\,2} \right)\) kẻ được đúng \(2\) tiếp tuyến với \(\left( {{C_m}} \right)\). Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) là?

A. \(\dfrac{4}{3}\)

B. \(\dfrac{{81}}{{109}}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{{217}}{{81}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362205

Giải chi tiết

+ Gọi đường thẳng đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 2\)

+ Đường thẳng đi qua M và tiếp xúc đồ thị \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + 2m = k(x - 1) + 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 4x + m - 1 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \((2)\) vào \((1)\):

\(\begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = \left( {3{x^2} - 4x + m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = 3{x^3} - 4{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 3{x^2} + 4x - m + 3\\ \Leftrightarrow - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 3m - 3 = 0 \Leftrightarrow 3m = 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

+ Để kẻ được đúng 2 tiếp tuyến \( \Rightarrow \) Phương trình (*) phải có 2 nghiệm.

Đặt\(f(x) = 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3\)

\(f'(x) = 6{x^2} - 10x + 4 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 4\\x = \dfrac{2}{3},y = \dfrac{{109}}{{27}}\end{array} \right.\)

BBT:

+ Phương trình (*) có 2 nghiệm khi đường thẳng \(y = 3m\) cắt \(y = f(x)\) tại 2 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 4\\3m = \dfrac{{109}}{{27}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{3}\\m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right. \Rightarrow \)Tổng \(\dfrac{4}{3} + \dfrac{{109}}{{81}} = \dfrac{{217}}{{81}}.\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.