Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;2}

Câu hỏi số 362204:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;2} \right)\). Tìm tập hợp \(S\) là tập tất cả các giá trị thực của \(m\) để có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\).

A. \(S = \left( { - \infty ; 1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right)\).

B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right).\).

C. \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right)\).

D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right).\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362204

Giải chi tiết

Gọi phương trình đường thẳng qua \(A\left( {m;2} \right)\) là \(y = k\left( {x - m} \right) + 2.\)

Đường thẳng qua A tiếp xúc đồ thị \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^3} + 3{x^2} - 2 = k\left( {x - m} \right) + 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 3{x^2} + 6x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \((2)\) vào \((1)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - {x^3} + 3{x^2} - 2 = ( - 3{x^2} + 6x)(x - m) + 2\\ \Leftrightarrow - {x^3} + 3{x^2} - 2 = - 3{x^3} + 6{x^2} + 3m{x^2} - 6mx + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - 3m{x^2} + 6mx - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + m\left( {6x - 3{{\rm{x}}^2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {6x - 3{{\rm{x}}^2}} \right) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 4\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 2{x^3} + 3{x^2} + 4}}{{6x - 3{{\rm{x}}^2}}}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( { - 2{x^2} - x - 2} \right)}}{{ - 3x\left( {x - 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{2{x^2} + x + 2}}{{3x}}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để có 2 tiếp tuyến \( \Rightarrow \) Phương trình \((*)\) có 2 nghiệm

+ Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + x + 2}}{{3x}}\) \(DK:x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4x + 1} \right).3x - 3\left( {2{x^2} + x + 2} \right)}}{{9{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{12{x^2} + 3x - 6{x^2} - 3x - 6}}{{9{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{6{x^2} - 6}}{{9{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\,\,\,\\x = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Vậy PT (*) có 2 nghiệm \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị tại 2 điểm.

\( \Rightarrow m < - 1\) hoặc \(m > \dfrac{5}{3}\).

\( \Rightarrow S = ( - \infty ; - 1) \cup \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right).\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.