Giải phương trình nghiệm nguyên \(3{x^2} - {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0\)

Câu hỏi số 366717:

Vận dụng

A. \(\left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0;4} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\)

B. \(\left( { - 2;6} \right);\left( {2;4} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right);\left( {2;2} \right);\left( { - 2; - 8} \right)\)

C. \(\left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right);\left( {0; - 2} \right);\left( {0; - 4} \right);\left( {2; - 2} \right);\left( {2; - 8} \right)\)

D. \(\left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366717

Phương pháp giải

Ta coi \(y\) là ẩn và \(x\) là tham số sau đó ta xét \({\Delta _y} \ge 0\).

Giải chi tiết

\(3{x^2} - {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow - {y^2} - 2\left( {x + 1} \right)y + 3{x^2} - 2x + 8 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \({\Delta _y}' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( {3{x^2} - 2x + 8} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3{x^2} - 2x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 9 \ge 0\)

Vì \(x,\,\,y\) là số nguyên nên \({\Delta _y}'\) là số chính phương: \(4{x^2} + 9 = {k^2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {k^2} - 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow \left( {k - 2x} \right)\left( {k + 2x} \right) = 9\\ \Leftrightarrow k + 2x|9 \Rightarrow k + 2x \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 1\\k - 2x = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 5\\x = - 2 \Rightarrow - {y^2} + 2y + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = - 1\\k - x = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 5\\x = 2 \Rightarrow - {y^2} - 6y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\end{array} \right.\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 3\\k - 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3\\x = 0 \Rightarrow - {y^2} - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = - 3\\k - 2x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 3\\x = 0 \Rightarrow - {y^2} - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH5: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 9\\k - 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 5\\x = 2 \Rightarrow - {y^2} - 6y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\end{array} \right.\)

TH6: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = - 9\\k - 2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 5\\x = - 2 \Rightarrow - {y^2} + 2y + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên \(\left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link