Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\mathbb{N}^*}\) và thỏa mãn \(ab = cd.\) Chứng minh số \(a + b + c +

Câu hỏi số 367006:

Vận dụng cao

Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\mathbb{N}^*}\) và thỏa mãn \(ab = cd.\) Chứng minh số \(a + b + c + d\) là hợp số.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:367006

Phương pháp giải

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)

+) Nếu \(ab \vdots p\) (\(p\) là số nguyên tố) thì \(a \vdots p\) hoặc \(b\,\, \vdots p.\)

Giải chi tiết

Ta có với mọi số tự nhiên \(d \in {\mathbb{N}^*}\) ta đều có thể viết được \(d = {d_1}.{d_2}\,\,\left( {{d_1},\,\,{d_2} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(ab = cd\) ta có các trường hợp:

1) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thì không có số lẻ nào hoặc chỉ có hai số lẻ.

Khi đó \(a + b + c + d\) là số chẵn lớn hơn 2

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số.

2) Một trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là số chẵn còn lại ba số lẻ.

Điều này không xảy ra vì \(ab = cd\)

3) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) có ba số chẵn và một số lẻ.

Chẳng hạn: \(a,\,\,b,\,\,c\) chẵn và \(d\) lẻ.

Từ \(ab = cd \Rightarrow ab \vdots d\)

Nếu \(d\) là số nguyên tố thì \(a \vdots d\) hoặc \(b \vdots d\)

Giả sử \(b \vdots d \Rightarrow b = kd \Rightarrow ab = akd = cd\) hay \(c = ka\,\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d = a + kd + ka + d = \left( {k + 1} \right)\left( {a + d} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d\) là hợp số.

Nếu \(d = {d_1}.{d_2},\) từ \(ab = cd \Rightarrow ab = c{d_1}{d_2}\)

Ta có: \(a = {k_1}{d_1},b = {k_2}{d_2}\) (hoặc \(a = {k_1}{d_2},b = {k_2}{d_1}\))

\( \Rightarrow ab = cd = {k_1}{k_2}{d_1}{d_2} = {k_1}{k_2}d \Rightarrow c = {k_1}{k_2}\)

Vậy \(a + b + c + d = {k_1}{d_1} + {k_2}{d_2} + {k_1}{k_2} + {d_2}{d_2} = \left( {{k_1} + {d_2}} \right)\left( {{k_2} + {d_1}} \right).\)

Do \({k_1},\,\,{k_2},\,\,{d_1},\,\,{d_2} \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(a + b + c + d\) là hợp số.

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link