Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá

Câu hỏi số 368281:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368281

Phương pháp giải

+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Giải chi tiết

Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :

\(P = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \frac{2}{{x - y}}\)

Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\frac{2}{{x - y}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\frac{2}{{x - y}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}P = x - y + \frac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\frac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)

Dấu « = » \( \Leftrightarrow x - y = \frac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)

Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \frac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó : \(x = \frac{1}{y} = \frac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link