Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn

Câu hỏi số 368280:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)

a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn

b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.

c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368280

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.

Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định

c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)

Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)

Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))

Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)

\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))

Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có

\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)

\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta IOA \sim \Delta IBH\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IO}}{{IB}} = \frac{{IA}}{{IH}} \Leftrightarrow IO.IH = IA.IB\end{array}\)

Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:

\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)

\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)

Mà \(OA = OB = R.\)

\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có

\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OIB \sim \Delta OBH\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OH}} \Leftrightarrow OI = \frac{{O{B^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\end{array}\)

Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).

\( \Rightarrow OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.

c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).

Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)

\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \frac{1}{2}AI.KM.\)

Theo câu b) ta có \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \frac{{O{A^2}}}{{OK}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}.\)

Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \frac{R}{2} = \frac{{3R}}{2}.\)

+) \(A{M^2} = OM.KM = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)

Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:

\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{6}\)

Suy ra \(AI = AM + MI = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} + \frac{{R\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \frac{1}{2}KM.AI = \frac{1}{2}.\frac{{3R}}{2}.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .

Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link