Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3xyz.\) Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 368884:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3xyz.\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}}.\)

A. \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\)

B. \({P_{\max }} = \frac{1}{2}\)

C. \({P_{\max }} = 1\)

D. \({P_{\max }} = \frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368884

Phương pháp giải

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) để đánh giá \(P\).

Giải chi tiết

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3xyz \Rightarrow \frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{xz}} + \frac{z}{{xy}} = 3\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\frac{x}{{yz}};\frac{y}{{zx}}\) ta có: \(\frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} \ge 2\sqrt {\frac{x}{{yz}}.\frac{y}{{zx}}} = \frac{2}{z}\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}} \ge \frac{2}{x};\frac{z}{{xy}} + \frac{x}{{yz}} \ge \frac{2}{y}\)

\( \Rightarrow \left( {\frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}}} \right) + \left( {\frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}}} \right) + \left( {\frac{z}{{xy}} + \frac{x}{{yz}}} \right) \ge \frac{2}{z} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le 3\)

Lại có: \({x^4} + yz \ge 2\sqrt {{x^4}yz} = 2{x^2}\sqrt {yz} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} \le \frac{1}{{2\sqrt {yz} }} = \frac{1}{4}.2.\frac{1}{{\sqrt y }}.\frac{1}{{\sqrt z }} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Tương tự \(\frac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right);\frac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\)

Suy ra \(P = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow P \le \frac{3}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1\).

Vậy \({P_{\max }} = \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link