Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Vẽ

Câu hỏi số 368883:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Vẽ các đường cao \(BD,CE\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {D \in AC;E \in AB} \right)\)

a) Chứng minh tứ giác \(BCDE\) nội tiếp một đường tròn

b) Gọi giao điểm của \(AO\) với \(BD\) và \(ED\) lần lượt là \(K,M.\) Chứng minh \(\frac{1}{{M{D^2}}} = \frac{1}{{K{D^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368883

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(DM \bot AO\) rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết

a) Vì \(BD,CE\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\angle BEC = \angle BDC = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\angle BEC = \angle BDC = 90^\circ \) (cmt) nên hai đỉnh \(E,D\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới các góc \(90^\circ \) , suy ra tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right)\)

Suy ra \(OA \bot Ax\)

+ Vì tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle BCD = \angle AED\) (1) (cùng bù với \(\angle BED\) )

+ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle BAx = \angle BCA\) (2) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BAx = \angle AED\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(Ax//ED\)

Mà \(Ax \bot AO\left( {cmt} \right) \Rightarrow ED \bot AO = \left\{ M \right\}.\)

Xét tam giác \(ADK\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường cao.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(\frac{1}{{D{M^2}}} = \frac{1}{{D{K^2}}} + \frac{1}{{D{A^2}}}\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link