Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AD,\,AE\) (\(D,\,E\)là các

Câu hỏi số 369434:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AD,\,AE\) (\(D,\,E\)là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến \(ABC\) của đường tròn \((O)\)sao cho điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,C;\) tia \(AC\)nằm giữa hai tia \(AD\)và \(AO\). Từ điểm \(O\) kẻ \(OI \bot AC\) tại \(I.\)

a) Chứng minh năm điểm \(A,\,D,\,I,\,O,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh \(IA\) là tia phân giác của \(\angle DIE\) và \(AB.AC = A{D^2}\).

c) Gọi \(K\) và \(F\) lần lượt là giao điểm của \(ED\) với \(AC\) và \(OI\). Qua điểm \(D\) vẽ đường thẳng song song với \(IE\) cắt \(OF\) và \(AC\) lần lượt tại \(H\) và \(P\). Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(HP.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369434

Phương pháp giải

a) Các góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc vuông.

b) Chứng minh \(\angle DIA = \angle EIA\) bằng cách sử dụng câu a) 5 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta ADC\)\(\)\(\)

c) Chứng minh tam giác \(DIH\)và \(DIP\) cân tại \(D\). Khi đó \(DH = DP( = DI)\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh năm điểm \(A,\,D,\,I,\,O,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.

\(AD,\,\,AE\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OD \bot AD = \left\{ D \right\}\\OE \bot AE = \left\{ E \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \angle ODA = \angle OEA = {90^0}\)

\(OI \bot AC = \left\{ I \right\} \Rightarrow \angle OIA = {90^0}\)

Ta có: \(\angle ODA,\,\,\,\angle OEA\) cùng nhìn \(OA\) dưới một góc vuông (cmt) và \(\angle OIA\) cũng nhìn \(OA\) dưới một góc vuông (cmt)

Nên \(D,\,\,\,E,\,\,\,O,\,\,\,A,\,\,\,I\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(OA\). (đpcm).

b) Chứng minh \(IA\) là tia phân giác của \(\angle DIE\) và \(AB.AC = A{D^2}\).

Do \(AD,\,AE\)là tiếp tuyến \(\left( O \right) \Rightarrow AO\) là phân giác của \(\angle DOE \Rightarrow \angle DOA = \angle AOE\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có tứ giác \(ADOE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle DIA = \angle DOA\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DA\))

Ta có tứ giác \(AIOE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle EIA = \angle EOA\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EA\))

\( \Rightarrow \angle DIA = \angle EIA \Rightarrow IA\) là phân giác của góc \(\angle DIE.\) (đpcm)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ADC\)ta có:

\(\angle A\,\,\,\,chung\)

\(\angle BDA = \angle DCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BD\))

\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ADC\,\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow A{D^2} = AB.AC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Gọi \(K\) và \(F\) lần lượt là giao điểm của \(ED\) với \(AC\) và \(OI\). Qua điểm \(D\) vẽ đường thẳng song song với \(IE\) cắt \(OF\) và \(AC\) lần lượt tại \(H\) và \(P\). Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(HP.\)

Ta có: \(DP//IE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DPI = \angle EIP\) (hai góc so le trong)

mà \(\angle DIP = \angle PIE\,\,\,\,\left( {cmt\,\,\,\,\angle DIA = \angle AIE} \right)\)

\( \Rightarrow \angle DIP = \angle DPI \Rightarrow \Delta DIP\) cân tại \(D\)

\( \Rightarrow DI = DP\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(DH//IE \Rightarrow \angle DHI = \angle EIO\) (hai góc đồng vị)

Ta có \(\angle HID + \angle PID = \angle PIE + \angle EIO = {90^0}\) mà \(\angle PID = \angle PIE \Rightarrow \angle HID = \angle EIO\,\)

\( \Rightarrow \angle DHI = \angle HID \Rightarrow \Delta HID\) cân tại \(D\)\( \Rightarrow DI = DH\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow D\) là trung điểm \(HP.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link