Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 369515:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369515

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c + ab + bc + ca = 6 \Leftrightarrow a + b + c = 6 - \left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - \left( {ab + bc + ca} \right) > 0\\{\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {6 - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right]^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab + bc + ca < 6\\\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36 - 12\left( {ab + bc + ca} \right) + {\left( {ab + bc + ca} \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\\bc \le \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}\\ca \le \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow ab + bc + ca \le \frac{{{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}{2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT\left( 1 \right) \ge ab + bc + ca + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow 36 - 12\left( {ab + bc + ca} \right) + {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = ab + bc + ca\,\,\,\left( {0 < t < 6} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}36 - 12t + {t^2} \ge 3t \Leftrightarrow {t^2} - 15t + 36 \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - 12t - 3t + 36 \ge 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 12} \right) - 3\left( {t - 12} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 12} \right)\left( {t - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 12\\t \le 3\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(0 < t < 6 \Rightarrow 0 < t \le 3\).

Theo bài ra ta có :

\(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + ab + \frac{{{b^3}}}{c} + bc + \frac{{{c^3}}}{a} + ca \ge 3 + \left( {ab + bc + ca} \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2\sqrt {\frac{{{a^3}}}{b}.ab} = 2{a^2}\).

Tương tự : \(\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2{b^2};\,\,\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2{c^2}\).

\( \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + ab + \frac{{{b^3}}}{c} + bc + \frac{{{c^3}}}{a} + ca \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Ta cần chứng minh \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3 + \left( {ab + bc + ca} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)} \right] \ge 3 + \left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {6 - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right)}^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)} \right] \ge 3 + \left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {6 - t} \right)}^2} - 2t} \right] \ge 3 + t\,\,\left( {0 < t \le 3} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {36 - 12t + {t^2} - 2t} \right) \ge 3 + t\\ \Leftrightarrow 72 - 24t + 2{t^2} - 4t - 3 - t \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 29t + 69 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 6t - 23t + 69 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {t - 3} \right) - 23\left( {t - 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {2t - 23} \right) \ge 0\end{array}\)

Với \(0 < t \le 3\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 3 \le 0\\2t \le 6 \Leftrightarrow 2t - 23 \le - 17 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {2t - 23} \right) \ge 0\).

Vậy đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link