Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(DD'\). Tính

Câu hỏi số 370807:

Nhận biết

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(DD'\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CK\) và \(A'D\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{17}}\)

B. \(\dfrac{a}{{17}}\)

C. \(\dfrac{a}{{13}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370807

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ.

+ Xác định tọa độ các điểm \(C,\,\,K,\,\,A',\,\,D\).

+ Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d\left( {CK;A'D} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'D} ;\overrightarrow {CK} } \right].\overrightarrow {A'C} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'D} ;\overrightarrow {CK} } \right]} \right|}}\).

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có \(A'\left( {a;0;0} \right);\,\,D\left( {0;0;a} \right),\,\,C\left( {a;a;a} \right);\,\,K\left( {0;0;\dfrac{a}{2}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {CK} = \left( { - a; - a; - \dfrac{a}{2}} \right);\,\,\overrightarrow {A'D} = \left( { - a;0;a} \right);\,\,\overrightarrow {A'C} = \left( {0;a;a} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CK} ;\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( { - {a^2};\dfrac{{3{a^2}}}{2}; - {a^2}} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CK} ;\overrightarrow {A'D} } \right].\overrightarrow {A'C} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Vậy \(d\left( {CK;A'D} \right) = \dfrac{{\dfrac{{{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {{{\left( { - {a^2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{3{a^2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - {a^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{{a^3}}}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {17} }}{2}{a^2}}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{{17}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.