Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3 ,\,\,SA = a\) và

Câu hỏi số 370806:

Nhận biết

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3 ,\,\,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Tính \(\sin \alpha \), với \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370806

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ.

+ Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,D,\,\,S\).

+ Xác định VTCP \(\overrightarrow u \) của \(BD\) và VTPT \(\overrightarrow n \) của \(\left( {SBC} \right)\).

+ Sử dụng công thức \(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta có: \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {a;0;0} \right),\,\,D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right),\,\,S\left( {0;0;a} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow BD\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; - a} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right) = {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).

Như vậy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {1;0;1} \right)\).

Do đó, \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì:

\(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.