Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \(E,\,\,M\) lần lượt

Câu hỏi số 370815:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \(E,\,\,M\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,SA,\,\,\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(EM\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Tính \(\tan \alpha \)?

A. \(\tan \alpha = \sqrt 2 \)

B. \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)

C. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370815

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ.

+ Xác định tọa độ các điểm \(S,\,\,B,\,\,D,\,\,E,\,\,M\).

+ Xác định VTCP \(\overrightarrow u \) của \(EM\) và VTPT \(\overrightarrow n \) của \(\left( {SBD} \right)\).

+ Sử dụng công thức \(\sin \left( {EM;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn \(OA = 1\). Khi đó ta có:

\(C\left( {1;0;0} \right),\,\,A\left( { - 1;0;0} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;0} \right)\) là 1 VTPT.

Ta có: \(SA = AB = OA\sqrt 2 \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S\left( {0;0;1} \right)\\A\left( { - 1;0;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C\left( {1;0;0} \right)\\B\left( {0;1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow EM\) nhận \(\overrightarrow {ME} = \left( {1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) là 1 VTCP.

\( \Rightarrow \sin \left( {EM;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {ME} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{2}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} .2}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

\(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.