Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác, \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 .\) Cạnh bên \(SA = a\)và

Câu hỏi số 371329:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác, \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 .\) Cạnh bên \(SA = a\)và vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC.\)

A. \(R = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\)

B. \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

C. \(R = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

D. \(R = a.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371329

Giải chi tiết

+ Xét \(\Delta ABC\): Kẻ \(AH \bot CB\)

Mà \(CB \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)\( \Rightarrow CB \bot \left( {SAH} \right)\)

+ Xét \(\Delta SAH\): Kẻ \(AK \bot SH\). Mà \(AK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAH} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow AK \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

+ Xét \(\Delta SAH:\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (Hệ thức lượng)

\( \Leftrightarrow \dfrac{7}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

+ Xét \(\Delta ABC\) có: \(\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}{a^2}\)

Lại có: \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}{a^2} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao.

+) Xét \(\Delta ABC:\,A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)(Định lí Pytago) \( \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {r_{day\,ABC}} = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\\ \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.