Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a\), góc \(\widehat {BAD} = {120^0}.\) Cạnh

Câu hỏi số 371330:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a\), góc \(\widehat {BAD} = {120^0}.\) Cạnh bên \(SA\)vuông với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{2}.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABD\).

A. \(R = 3a.\)

B. \(R = \dfrac{{5a}}{2}.\)

C. \(R = \dfrac{{3a}}{2}.\)

D. \(R = 2a.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371330

Giải chi tiết

Ta có: \(d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{2}.\)

+ Xét hình thoi \(ABCD\): Từ \(A\) kẻ \(AH \bot BC\).

+ Xét \(\Delta SAH:\) Kẻ \(AK \bot SH\,\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BC\\AK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

+ Xét \(ABCD\) có \(\widehat {BAD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\)

+ Mà \(AB = BC\) (\(ABCD\) là hình thoi) \( \Rightarrow \Delta ABC\)đều cạnh \(2a\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2a = \sqrt 3 a\)

+ Xét \(\Delta SAH\,\,\) (\(\widehat {SAH} = {90^0},\,\,AK\) là đường cao) ta có: \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (Hệ thức lượng).

\( \Rightarrow \dfrac{4}{{9{a^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow S{A^2} = 9{a^2} \Leftrightarrow SA = 3a.\)

+ Xét hình thoi \(ABCD\) có: \(AB = BC = CD = AD = AC\).

\( \Rightarrow CA\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BAD\)\( \Rightarrow {r_{\Delta BAD}} = CA = 2a\).

\( \Rightarrow {R_{SABD}} = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + {{\left( {{r_{\Delta BAD}}} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {3a} \right)}^2}}}{4} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \dfrac{{5a}}{2}.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.