Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\) (\(x\) là ẩn) a) Giải phương trình khi \(m

Câu hỏi số 374589:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\) (\(x\) là ẩn)

a) Giải phương trình khi \(m = - \frac{3}{2}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của \(m\) để \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 8.\)

A. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ {1 + \sqrt 3 ;\,\,1 - \sqrt 3 } \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = 3\,\,;\,\,m = - \frac{1}{2}\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = - 3\,\,;\,\,m = \frac{1}{2}\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ {1 + \sqrt 2 ;\,\,1 - \sqrt 2 } \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = 3\,\,;\,\,m = \frac{1}{2}\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = - 3\,\,;\,\,m = - \frac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374589

Phương pháp giải

a) Thay \(m = - \frac{3}{2}\) vào phương trình rồi giải phương trình bằng cách sử dụng biệt thức \(\Delta .\)

b) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\) với mọi giá trị của \(m.\)

c) +) Tìm ĐK để phương trình có 2 nghiệm.

+) Áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng biến đổi: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\).

Giải chi tiết

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\) (\(x\) là ẩn)

a) Giải phương trình khi \(m = - \frac{3}{2}.\)

Thay \(m = - \frac{3}{2}\) vào phương trình đã cho, ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2.\left( { - \frac{3}{2} + 2} \right)x - \frac{3}{2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2.\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{1}{2} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

\(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3 > 0\,\, \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 3 \)

Phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\,\,\,;\,\,\,\,{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right\}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\) (\(x\) là ẩn)

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - 1.\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 - m - 1\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 3m + 3 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {m + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{4} > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của \(m\) để \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 8.\)

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài, ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 8\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2m + 4} \right)^2} - 2.\left( {m + 1} \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 16 - 2m - 2 = 8\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 16 - 2m - 2 - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 14m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 6m + m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 2} \right) + \left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 3 = 0\\2m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = - 3\,\,;\,\,m = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link