Cho \(x,\,y\) thỏa mãn điều kiện: \(3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right) = xy\) . Tính giá

Câu hỏi số 374902:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,y\) thỏa mãn điều kiện: \(3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right) = xy\) . Tính giá trị của biểu thức:

\(S = {\left( {x - 17} \right)^{2018}} + {\left( {y - 19} \right)^{2019}}\)

A. \(S = 0\)

B. \(S = 1\)

C. \(S = - 1\)

D. \(S = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374902

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\,\,\forall a,\,\,b\) để chứng minh \(VT \ge VP\).

Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được \(x,\,\,y.\)

Giải chi tiết

Cho \(x,\,y\) thỏa mãn điều kiện: \(3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right) = xy\) . Tính giá trị của biểu thức:

\(S = {\left( {x - 17} \right)^{2018}} + {\left( {y - 19} \right)^{2019}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 9 \ge 0\\y - 9 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\y \ge 9\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right)\\ = 3x\sqrt {y - 9} + 3y\sqrt {x - 9} \\ = 3\sqrt x .\sqrt x .\sqrt {y - 9} + 3\sqrt y .\sqrt y .\sqrt {x - 9} \\ = 3\sqrt x .\sqrt {xy - 9x} + 3\sqrt y .\sqrt {xy - 9y} \\ = \sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} + \sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \end{array}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \Rightarrow 2ab \le {a^2} + {b^2} \Rightarrow ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Rightarrow a = b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} \le \frac{{9x + xy - 9x}}{2} = \frac{{xy}}{2}\\\sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \le \frac{{9y + xy - 9y}}{2} = \frac{{xy}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} + \sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \le \frac{{xy}}{2} + \frac{{xy}}{2} = xy\\ \Rightarrow VT \le VP\end{array}\)

Mà theo đề bài \(VT = VP\)nên dấu “=” xảy ra

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {9x} = \sqrt {xy - 9x} \\\sqrt {9y} = \sqrt {xy - 9y} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x = xy - 9x\\9y = xy - 9y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {y - 18} \right) = 0\\y\left( {x - 18} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 18\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 9,\,\,\,y \ge 9} \right)\\ \Rightarrow S = {\left( {x - 17} \right)^{2018}} + {\left( {y - 19} \right)^{2019}} = {\left( {18 - 17} \right)^{2018}} + {\left( {18 - 19} \right)^{2019}} = 1 - 1 = 0.\end{array}\)

Vậy \(S = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link