Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB.\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng \(d\) là

Câu hỏi số 374901:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB.\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). \(C\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\) Qua \(C\) vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), tiếp xúc với đường tròn\(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(M.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(OC.\)

1) Chứng minh \(AM\) vuông góc với \(OC\) và \(OH.OC = {R^2}\).

2) Chứng minh các góc \(OBH\) và \(OCB\) bằng nhau.

3) Qua \(O\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(OC,\) đường thẳng này cắt \(CM\) tại \(D.\) Chứng minh \(DB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374901

Phương pháp giải

1) – Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.

– Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OCM.\)

2) Chứng minh \(\Delta OBH \sim \Delta OCB\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.

3) Chứng minh \(\Delta DOB = \Delta DOM\), suy ra \(OB \bot BD\).

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(AM\) vuông góc với \(OC\) và \(OH.OC = {R^2}\).

Theo giả thiết ta có hai đường tiếp tuyến tại \(A\) và \(M\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow OC\) là tia phân giác của \(\angle ACM\,\) và \(\angle AOM\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét \(\Delta AOM\)có: \(OA = OM\left( { = R} \right)\) và có \(OC\) là tia phân giác của \(\angle AOM\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OC\) đồng thời là đường cao của tam giác cân \(AOM.\) (tính chất)

\( \Rightarrow OC \bot AM = \left\{ H \right\}\)

Vậy \(AM \bot OC\).

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta OMC\)vuông tại \(M\) có đường cao \(OH\) có:

\(OH.OC = O{M^2} \Leftrightarrow OH.OC = {R^2}.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Vậy \(OH.OC = {R^2}\)

2) Chứng minh các góc \(OBH\) và \(OCB\) bằng nhau.

Ta có: \(OH.OC = {R^2} = O{B^2}\,\)

\( \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}}\)

Xét \(\Delta OBH\) và \(\Delta OCB\) có:

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}}\\\angle COB\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta OBH \sim \Delta OCB\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle OBH = \angle OCB\,\) (hai góc tương ứng bằng nhau). (đpcm)

Vậy \(\angle OBH = \angle OCB\).

3) Qua \(O\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(OC,\) đường thẳng này cắt \(CM\) tại \(D.\) Chứng minh \(DB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) .

Từ giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle DOB + \angle COA = {180^0} - \angle DOC = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\\angle DOM + \angle MOC = \angle DOC = {90^0}\end{array} \right.\)

Mà \(\angle MOC = \angle COA\) (cm a))

\( \Rightarrow \angle DOB = \angle DOM\) (cùng phụ với hai hai góc bằng nhau)

Xét \(\Delta DOB\)và \(\Delta DOM\)có:

\(\begin{array}{l}OD\,\,\,chung\\\angle DOB = \angle DOM\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\OB = OM\,\,\,\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta DOB = \Delta DOM\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle OMD = \angle OBD = {90^0}\end{array}\)

Hay \(OB \bot BD.\)

\( \Rightarrow BD\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link