Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2

Câu hỏi số 376364:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(a\)

D. \(2a\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376364

Phương pháp giải

Tìm tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) bằng cách :

- Tìm tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy \(ABCD\).

- Dựng đường thẳng \(d\) qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\)

- \(I\) là giao điểm của \(d\) và mặt phẳng trung trực bất kì của cạnh bên.

Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\).

Dựng đường thẳng \(d\) qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\)

Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của cạnh bên \(SA\) và cắt \(SA\) tại \(M\).

Gọi \(I = d \cap \left( \alpha \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD.\)

Ta có : \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.A{B^2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 .A{B^2} \Rightarrow AB = a\)

\( \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Leftrightarrow MA \bot AO\).

Ta có \(SA = a\sqrt 2 \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = OI\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) có:

\(R = AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.