Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x + \cos 2x} \right) = f\left( m \right)\)có nghiệm \(x \in \mathbb{R}\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là hàm nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Khi đó \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}.\)
Hàm số đã cho có \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó:
\(\begin{array}{l}f\left( {\sin x + \cos 2x} \right) = f\left( m \right) \Leftrightarrow \sin x + \cos 2x = m\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 - 2{\sin ^2}x = m \Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1 = m\end{array}\)
Đặt \(t = \sin x\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\) thì ta có : \(m = - 2{t^2} + t + 1 = g\left( t \right)\,\,\,\left( 1 \right).\)
Để phương trình đã cho có nghiệm với \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì phương trình (1) phải có nghiệm với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = - 2{t^2} + t + 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có : \(g'\left( t \right) = - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy, để phương trình (1) có nghiệm với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) thì \(m \in \left[ { - 2;\dfrac{9}{8}} \right].\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}.\)
Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
