Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AC = a,\,\,\angle ACB = {60^0}\).
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AC = a,\,\,\angle ACB = {60^0}\). Đường thẳng \(BC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right)\) một góc \({30^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đế tính được thể tích của khối lăng trụ, ta chỉ cần đi tìm \(AA'\)
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AB = AC.\tan \widehat {BCA} = a.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Do lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng
\( \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BA\,\,\left( 1 \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(BA \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu của \(BC'\) trên \(\left( {ACC'A'} \right)\) là \(AC'\).
\( \Rightarrow \angle \left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \angle \left( {BC';AC'} \right) = \angle AC'B = {30^0}\).
\(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \(A\).
Xét tam giác vuông \(ABC'\) có: \(AC' = \dfrac{{AB}}{{\tan \widehat {BC'A}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = 3a.\)
\( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 6 .\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
