Tìm các số tự nhiên \(x,y,z,t\) sao cho \(27{x^4} + 9{y^4} + 3{z^4} = {t^4}.\)

Câu hỏi số 376417:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376417

Phương pháp giải

Xét tính chia hết của t với 3 rồi lần lượt suy ra tính chia hết của x,y,z.

Suy ra nghiệm thứ 2 của phương trình, đánh giá rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(27{x^4} + 9{y^4} + 3{z^4} = {t^4}\,\,\left( 1 \right).\)

\( \Rightarrow {t^4}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow t\,\, \vdots \,\,3\) ( vì 3 là số nguyên tố)

+) \(\left( {0;0;0;0} \right)\) là nghiệm của phương trình đã cho suy ra ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0}} \right) \ne \left( {0;0;0;0} \right)\) là nghiệm của phương trình (1).

Khi đó \(27x_0^4 + 9y_0^4 + 3z_0^4 = t_0^4\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t_0^4\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {t_0}\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {t_0} = 3{t_1}\left( {{t_1} \in \mathbb{N}} \right)\end{array}\)

Thay \({t_0} = 3{t_1}\) vào phương trình (2) rồi chứng minh tương tự ta có :

\(\begin{array}{l}{x_0} = 3{x_1}\\{y_0} = 3{y_1}\\{z_0} = 3{z_1}\end{array}\) \(\left( {{x_1},{y_1},{z_1} \in \mathbb{N}} \right)\)

Khi đó ta có phương trình \(27x_1^4 + 9y_1^4 + 3z_1^4 = t_1^4\)

Suy ra \(\left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình (1) mà \({t_1} < {t_0}\)( Mâu thuẫn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {0;0;0;0} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link