Tìm nghiệm nguyên \({x^2} + {y^2} = 5{z^2}.\)

Câu hỏi số 376419:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376419

Phương pháp giải

Xét số dư của số bình phương với 5 để suy ra tính chia hết của \(x,\,\,y\) với 5.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\{y^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} \equiv 0;1;2;3\,\,\left( {\bmod 5} \right)\)

Mà \({x^2} + {y^2} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right.\)

Giả sử phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\{y_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right.\)

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 5{x_1}\\{y_0} = 5{y_1}\end{array} \right.\,\,\left( {{x_1};{y_1} \in \mathbb{Z}} \right)\)

Thay vào phương trình đã cho ta có:

\(\begin{array}{l}25x_1^2 + 25y_1^2 = 5z_0^2\\ \Leftrightarrow 5x_1^2 + 5y_1^2 = z_0^2\\ \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,5\\ \Rightarrow {z_0} = 5{z_1}\,\,\left( {{z_1} \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có phương trình \(x_1^2 + y_1^2 = 5z_1^2 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{5^k}}}} \right)\,\,\forall k \in \mathbb{N}\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {0;0;0} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link