Giải phương trình nghiệm nguyên \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9{x^2}{y^2}.\)

Câu hỏi số 376420:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376420

Phương pháp giải

Xét tính chẵn lẻ của \(x,\,\,y\) từ đó tìm số dư của tổng bình phương 2 số khi chia cho 4.

Tìm nghiệm tổng quát rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9{x^2}{y^2} \Leftrightarrow {z^2} = 9{x^2}{y^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right).\)

Nếu \(x,\,\,y\) lẻ thì

\(\begin{array}{l}{\left( {3xy} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 9 - \left( {1 + 1} \right) = 7 \equiv 3\,\,\left( {\bmod 4} \right)\\ \Rightarrow {z^2} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 4} \right)\,\,\left( {loai} \right)\end{array}\)

Do đó trong 2 số \(x,\,\,y\) có ít nhất 1 số chẵn. Giả sử x chẵn \( \Rightarrow x = 2{x_0}\left( {{x_0} \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4x_0^2 + {y^2} + {z^2} = 36x_0^2y\\ \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} = 4\left( {9x_0^2y - x_0^2} \right)\\ \Rightarrow {y^2} + {z^2} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 2} \right)\\z \equiv 0\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} \vdots {2^k}\\{y_0} \vdots {2^k}\\{z_0} \vdots {2^k}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link