Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({x^4} + {y^4} = 7{z^4}.\)

Câu hỏi số 376422:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376422

Phương pháp giải

Tìm số dư của phép chia số mũ bậc 4 với số chia là 7 từ đó suy ra tính chia hết của x,y,z với 7.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\forall a \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\ \Rightarrow {a^4} \equiv 0;1;2\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\ \Rightarrow {x^4} + {y^4} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình ban đầu

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_0}^4 + {y_0}^4 = 7{z_0}^4\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\{y_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 7{x_1}\\{y_0} = 7{y_1}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{7^4}{x_1}^4 + {7^4}{y_1}^4 = 7{z_0}^4\\ \Leftrightarrow {7^3}{x_1}^4 + {7^3}{y_1}^4 = {z_0}^4\\ \Rightarrow {z_0}^4\,\, \vdots \,\,7 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,7\\ \Rightarrow {z_0} = 7{z_1}\end{array}\)

Khi đó ta có phương trình \({x_1}^4 + {y_1}^4 = 7{z_1}^4 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{7^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho.

\( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link