Giải phương trình nghiệm nguyên \(27{x^4} - 9{y^4} + 3{z^4} = {t^4}.\)

Câu hỏi số 376421:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376421

Phương pháp giải

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t\) với 3.

Suy ra công thức nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0}} \right)\) là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Khi đó \(27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = {t_0}^4\,\,\left( 1 \right).\)

Suy ra \({t_0}^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0} = 3{t_1}\). Thay vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = 81{t_1}^4\\ \Leftrightarrow 9{x_0}^4 - 3{y_0}^4 + {z_0}^4 = 27{t_1}^4\\ \Rightarrow z_0^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {z_0} = 3{z_1}\end{array}\)

Tương tự ta có \({y_0} = 3{y_1};\,\,{x_0} = 3{x_1}\)

Khi đó thay tất cả vào (1) ta có \(27{x_1}^4 - 9{y_1}^4 + 3{z_1}^4 = {t_1}^4 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1}} \right)\) cũng là 1 nghiệm của phương trình ban đầu.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{3^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = {t_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0;0} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link