Giải phương trình nghiệm nguyên \(27{x^4} - 9{y^4} + 3{z^4} = {t^4}.\)

Câu hỏi số 376421:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376421

Phương pháp giải

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t\) với 3.

Suy ra công thức nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0}} \right)\) là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Khi đó \(27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = {t_0}^4\,\,\left( 1 \right).\)

Suy ra \({t_0}^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {t_0} = 3{t_1}\). Thay vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}27{x_0}^4 - 9{y_0}^4 + 3{z_0}^4 = 81{t_1}^4\\ \Leftrightarrow 9{x_0}^4 - 3{y_0}^4 + {z_0}^4 = 27{t_1}^4\\ \Rightarrow z_0^4\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {z_0} = 3{z_1}\end{array}\)

Tương tự ta có \({y_0} = 3{y_1};\,\,{x_0} = 3{x_1}\)

Khi đó thay tất cả vào (1) ta có \(27{x_1}^4 - 9{y_1}^4 + 3{z_1}^4 = {t_1}^4 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1}} \right)\) cũng là 1 nghiệm của phương trình ban đầu.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{3^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{3^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = {t_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0;0} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link