Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(\left( {AB < AC} \right)\)), đường cao \(AH.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\)

Câu hỏi số 376576:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(\left( {AB < AC} \right)\)), đường cao \(AH.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là tung điểm của \(AB,\,\,AC,\,\,BC.\)

1. Chứng minh tứ giác \(AMPN\) là hình chữ nhật.

2. Chứng minh tứ giác \(MNPH\) là hình thang cân.

3. Cho biết \(BC = 10\,cm\) và diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(20\,c{m^2}.\) Tính diện tích tam giác \(AHP.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376576

Phương pháp giải

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thang cân và công thức tính diện tam giác.

Giải chi tiết

a) Vì M là trung điểm AB, P là trung điểm BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow MP\,{\rm{//}}\,AC{\rm{.}}\)

Tương tự ta có \(NP\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow AMPN\) là hình bình hành. Lại có \(\angle MAN = 90^\circ \) nên AMPN là hình chữ nhật.

b) Xét tam giác vuông AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến \( \Rightarrow NH = NC = NA.\)

Lại có \(NA = MP \Rightarrow NH = MP.\)

Tứ giác MNPH có \(MN{\rm{//}}\,HP\) (MN là đường trug bình tam giác ABC) và \(NH = MP \Rightarrow MNPH\) là hình thang cân.

c) \({S_{ABC}} = 20 \Rightarrow \frac{1}{2}AH.BC = 20 \Rightarrow \frac{1}{2}AH.10 = 20\)

\( \Rightarrow AH = 4\,\left( {cm} \right)\).

Lại có \(AP = \frac{1}{2}BC = 10\,\left( {cm} \right).\)

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} + H{P^2} = A{P^2}\\ \Rightarrow H{P^2} = A{P^2} - A{H^2}\\ \Rightarrow H{P^2} = {10^2} - {4^2}\\ \Rightarrow H{P^2} = 84 \Rightarrow \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \,\left( {cm.} \right)\end{array}\)

Diện tích tam giác AHP là: \(\frac{1}{2}AH.HP = \frac{1}{2}4.2\sqrt {21} = 4\sqrt {21} \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link