Cho hàm số: \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4}\)

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi:377283

Phương pháp giải

Khảo sát tóm tắt: - Tìm TXĐ, tính đạo hàm \(y'\). - Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Có \(y' = {x^3} - 4x;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục \(Ox\).

Xem lời giải

Câu hỏi:377284

Phương pháp giải

- Giải phương trình hoành độ giao điểm. - Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Ox\). - Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 3\end{array} \right.\)
Nên \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

Ta có: \(y' = {x^3} - 4x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 3 \right) = 15\\y'\left( { - 3} \right) = - 15\end{array} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( {3;0} \right)\) là \(y = 15\left( {x - 3} \right) + 0\) hay \(y = 15x - 45\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) là \(y = - 15\left( {x + 3} \right) + 0\) hay \(y = - 15x - 45\).

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Biện luận theo \(k\) số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k-2{x^2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:377285

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Biện luận số giao điểm theo số nghiệm của phương trình và kết luận.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = k - 2{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^4} = 9 + 4k\,\,\left( * \right)\)

+) Nếu \(9 + 4k > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \sqrt {9 + 4k} \\{x^2} = - \sqrt {9 + 4k} \left( L \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[4]{{9 + 4k}}\) hay \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Nếu \(9 + 4k = 0 \Leftrightarrow k = - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(9 + 4k < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right)\) vô nghiệm.

Vậy: +) \(k = - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) có một điểm chung là \(\left( {0; - \dfrac{9}{4}} \right)\)

+) \(k > - \dfrac{9}{4}\): (C) và (P) có hai giao điểm.

+) \(k < - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) không cắt nhau.

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.