Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 3a,\,\,AD = 4a\), \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 377483:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 3a,\,\,AD = 4a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

A. \(10a\)

B. \(5a\)

C. \(\dfrac{{5\sqrt 3 a}}{2}\)

D. \(5\sqrt 3 a\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377483

Phương pháp giải

Tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng cách :

- Tìm tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Kẻ đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng đáy.

- Vẽ mặt phẳng \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì.

- \(I = \left( P \right) \cap d\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là trung điểm cạnh \(SC\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(O\) là giao điểm 2 đường chéo cũng chình là tâm đường tròn ngoại tiếp hcn \(ABCD\) (do \(OA = OB = OC = OD\)).

\(OI\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(OI//SA\) mà \(SA\) vuông góc với mp \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(OI\) cũng vuông góc với mp \(\left( {ABCD} \right)\)

Do đó \(IA = IB = IC = ID\) (do \(I\) nằm trên đường thẳng đi qua tâm \(O\) và vuông góc với đáy).

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \) Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có trung tuyến \(AI\) nên \(IA = IS = IC\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\).

\(SA\) vuông góc với đáy nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy chính là góc \(\angle SCA \Rightarrow \angle SCA = {60^0}\).

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a;\,\,\,SC = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \dfrac{{5a}}{{\cos 60^\circ }} = 10a\).

Do đó \(R = IS = \dfrac{1}{2}SC = 5a\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng \(5a\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.