Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m}

Câu hỏi số 377474:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m} \right){x^2} + m\) có đúng một cực trị?

A. \(5\)

B. \(1\)

C. \(6\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377474

Phương pháp giải

Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m} \right){x^2} + m\)

+ Với \(m = 1\) thì hàm số trở thành \(y = 5{x^2} + 1\) có duy nhất 1 điểm cực trị là \(x = 0\,\,\left( {tm} \right)\).

+ Với \(m \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y' = 4\left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {6 - m} \right)x = 2x\left[ {2\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6} \right]}\\
{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} = \frac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.

Do đó phương trình (1) hoặc là có nghiệm kép \(x = 0\) hoặc vô nghiệm.

\( \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow 1 < m \le 6\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có tất cả 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.