Hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\), đáy là đường tròn tâm \(I\), đường sinh \(l = 3a\) và

Câu hỏi số 378635:

Vận dụng

Hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\), đáy là đường tròn tâm \(I\), đường sinh \(l = 3a\) và chiều cao \(SI = a\sqrt 5 \). Họi \(H\) là điểm thay đổi trên đoạn \(SI\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(SI\) tại \(H\), cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Khối nón đỉnh \(I\), đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{32\sqrt 5 \pi {a^3}}}{{81}}\)

B. \(\dfrac{{5\sqrt 5 \pi {a^3}}}{{81}}\)

C. \(\dfrac{{8\sqrt 5 \pi {a^3}}}{{81}}\)

D. \(\dfrac{{16\sqrt 5 \pi {a^3}}}{{81}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378635

Phương pháp giải

- Đặt \(IH = x\) lập công thức tính thể tích khối nón theo \(x\) .

- Sử dụng phương pháp hàm số đánh giá GTLN của thể tích.

Giải chi tiết

Tam giác \(SIB\) vuông tại \(I\) ta có \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {9{a^2} - 5{a^2}} = 2a\).

Đặt \(IH = x\left( {0 < x < a\sqrt 5 } \right)\) \( \Rightarrow SH = SI - IH = a\sqrt 5 - x\)

Tam giác \(SHA\) đồng dạng \(SIB\) nên

\(\dfrac{{HA}}{{IB}} = \dfrac{{SH}}{{SI}} \Leftrightarrow \dfrac{{HA}}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 5 - x}}{{a\sqrt 5 }}\) \( \Leftrightarrow HA = \dfrac{{2a\sqrt 5 - 2x}}{{\sqrt 5 }}\)

Thể tích khối nón đỉnh \(I\) đường tròn đáy tâm \(H\) là:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi H{A^2}.IH\) \( = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 5 - 2x}}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}.x = \dfrac{{4\pi }}{{15}}{\left( {a\sqrt 5 - x} \right)^2}.x\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = {\left( {a\sqrt 5 - x} \right)^2}.x\) trên \(\left( {0;a\sqrt 5 } \right)\) có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2\left( {a\sqrt 5 - x} \right).x + {\left( {a\sqrt 5 - x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2ax\sqrt 5 + 2{x^2} + 5{a^2} - 2ax\sqrt 5 + {x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^2} - 4ax\sqrt 5 + 5{a^2}\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\sqrt 5 \left( {loai} \right)\\x = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đạt GTLN tại \(x = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\) và \(f\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}} \right) = \dfrac{{10{a^3}\sqrt 5 }}{{27}}\)

Vậy thể tích lớn nhất \({V_{\max }} = \dfrac{{4\pi }}{{15}}.\dfrac{{10{a^3}\sqrt 5 }}{{27}} = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 5 }}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.