Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} = 3m{x^2} + 4{m^3}\)

Câu hỏi số 378632:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} = 3m{x^2} + 4{m^3}\) có điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d:\,\,y = x\). Tổng tất cả các phần tử của tập hợp \(S\) bằng

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378632

Phương pháp giải

- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y' = 0\).

- Tìm tọa độ các điểm cực trị và tìm điều kiện để hai điểm đó đối xứng nhau qua \(d\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx = 3x\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Với \(x = 0\) thì \(y = 4{m^3}\) ta được điểm \(A\left( {0;4{m^3}} \right) \in Oy\)

Với \(x = 2m\) thì \(y = 0\) ta được điểm \(B\left( {2m;0} \right) \in Ox\)

Hai điểm \(A,B\) đối xứng nhau qua \(d:y = x\) \( \Leftrightarrow AB \bot d\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 2m.1 + \left( { - 4{m^3}} \right).1 = 0\) \( \Leftrightarrow m - 2{m^3} = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {1 - 2{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {loai} \right)\\m = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right\}\) nên tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = 0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.